5.1 Гармонические колебания. Кинематическое определение:

        x(t) = Asin(ωt + φ₀),

где A > 0 - амплитуда колебаний, аргумент синуса (ωt + φ₀) - фаза колебаний, φ₀ - начальна фаза, ω - циклическая частота колебаний.

    Из определения гармонических колебаний следует:

        υ_x(t) = x'_t = ωAcos(ωt + φ₀),

        a_x(t) = (υ_x)'t = - ω²Asin(ωt + φ₀) = - ω²x(t)

    Из этих формул получаем связь амплитуды колебаний A исходной величины x(t) с амплитудами колебаний ее скорости υ_max и ускорения a_max: υ_max = ωA, a_max = ω²A.

    Равносильное определение гармонических колебаний: x(t) = a sinωt + b cosωt.

    Из выражения для ускорения a_x(t) = - ω²x(t) следует уравнение колебаний a_x + ω²x = 0.

    При ω² > 0 любое решение этого уравнения сводится к виду x(t) = Asin(ωt + φ₀).

    Систему, в которой наблюдается гармонические колебания, называется гармоническим асциллятором.

    Динамическое описание. Сравним выражение для ускорения в случае гармонических колебаний с записью второго закона Ньютона для случая одномерного движения под действием упругой силы:

        a_x = - ω²x,

        ma_x(t) = - kx.

    Мы видим, что эти уравнение совпадают при m > 0 и ω² = k / m. Значит, под действием упругой силы F_x = - kx тело массой m совершает гармонические колебания с циклической частотой ω = √(k / m).

    Энергетическая описание (закон сохранения механической энергии). Если выражение для x и υ_x подставить в формулу для механической энергии, то получим

        E_м = mυ_x² / 2 + kx² / 2 = mυ_max² / 2 + kA² / 2 = const.

    5.2 Период и частота колебаний. Случай гармонических колебаний период T, частота ν и циклическая частота ω связаны между собой соотношениями: T = 2π / ω = 1 / ν.

    Назовем колебания в системе свободными, если на тела системы действуют периодические силы, период которых определяется только свойствами самой системы и поэтому не может быть задан извне. (Пример: при свободных колебаниях математического маятника на грузик действует постоянная сила тяжести и периодическая сила натяжения нити подвеса. Период колебаний модуля силы натяжения нити равен половине периода колебаний маятника и зависит при малых колебаниях только от длины нити и ускорения свободного падения.)

    Период малых свободных колебаний математического маятника: T = 2π√(l / g).

    Период свободных колебаний пружинного маятника: T = 2π√(m / k).

    5.3 Вынужденные колебания. Тот факт, что механическая энергия гармонического осциллятора сохраняется, говорит о том, что в этой системе отсутствует трение. При наличии трения механическая энергия системы будет уменьшаться, и колебания в системе будут затухающими. Если на такую систему с циклической частотой ω свободных колебаний действует внешняя вынуждающей периодическое сила и циклической частотой Ω (величина Ω может быть задана извне произвольно), то в системе возникает как свободные, так и вынужденные колебания. Через некоторое время свободные колебания затухают и будут наблюдаться только вынужденные колебания с частотой Ω вынуждающей силы.

    Резонанс. При сближении циклической частоты свободных колебаний ω с циклической частотой вынуждающей силы Ω наблюдается явление резонанса - увеличение амплитуды вынужденных колебаний при неизменной амплитуде вынуждающей силы. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты Ω при известной частоте ω называется резонансной кривой.

    5.4 Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Если колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, то волна называется продольной. Если на стол с гладкой поверхности положить пружину длиной в несколько метров и диаметром намотки в несколько сантиметров, то, создавая колебания торца пружины перпендикулярно ее оси, мы будем наблюдать распространение по пружине поперечной волны смещений, а создавая колебания торца пружины вдоль ее оси, - распространение по пружине продольной волны сжатие и растяжений.

    Скорость распространения волны с, длина волны λ и период колебания T связаны между собой соотношениями: λ = cT = c / ν.

    Интерференция и дифракция волн (см. в разделе ЭЛЕКТРОДИНАМИКА теме ОПТИКА)

    5.5 Звук. Звук представляет собой волну смещение частиц упругой среды. Звук в газах и в жидкостях представляет собой продольную волну. В твердых телах звук может быть как продольный, так и поперечной волной. Скорость звука зависит от упругих свойств среды, поэтому в воздухе она ниже, чем в воде или в твёрдых телах. Частота звуковых колебаний лежит в интервале от 16 Гц до 20 кГц