1.1 Механическое движение - изменение положения тела в пространстве относительно других тел (или изменение формы тела) с течением времени.

    Механическое движение вследствие этого определения относительно: то, как движется тело, зависит от того, относительно какого предмета рассматривается это движение. Пример: чемодан неподвижно лежит на полке вагона, но вместе с поездом движется относительно Земли.

    Система отсчета служит для количественного описания механического движения. Поэтому вследствие определения механического движения систему отсчета образуют:

1. тело отсчета (не меняющее своей формы);
2. система координат, жестко связанная с телом отсчета;
3. часы (прибор для измерения времени), жестко связаные с телом отсчета.

    1.2 Материальная точка - простейшая модель реального тела, представляющая собой геометрическую точку, с которой связаны масса тела, его заряд и т. д. Эта модель применима, если размерами тела в данной задаче можно пренебречь. Два самых частых примера таких задач:

    - пройденное телом расстояние много больше разеров самого тела (автомобиль проехал 100 км со скоростью 50 км/ч. Найти время движения);

    - случай поступательного движения твердого тела. В этом случае все точки тела движутся одинаково, поэтому достаточно иследовать движение одной точки тела.

    Прежде чем описывать изменение положения материальной точки надо, задать само это положение. Выбираем систему отсчёта затем, из начала координат в точку, в которой находится тело M в момент времени t проводим радиус-вектор r(t).

    Положение тела M момент времени t можно задать и его координатами x(t), y(t), z(t).

    Очевидно, что r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

    Тело в процессе своего движения проходит через точки, неподвижные в данной системе отсчета. Эти точки образуют траекторию движения тела в этой системе отсчета. В другой системе отсчета движущиеся относительно данной, эти точки движутся, поэтому в новой системе отсчета они не образуют траекторию. Таким образом, траектория тела в разной система отчета получается разной. Это одна из иллюстраций относительности движения.
    Вектор Δr, соединяющий два положения тела, называется перемещением тела и равен

        Δr = r(t₂) - r(t₁) = r₂ - r₁ = (Δx, Δy, Δz) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).

    Если за время Δt перемещения тела в системе отсчета 1 составит Δr₁, в системе отсчета 2 составит Δr₂, а перемещение системы отчёта 2 относительно системы отчёта 1 составит r₀, то эти перемещения связаны друг с другом законом сложения перемещений: Δr₁ = Δr₂ + Δr₀ (Еще одна иллюстрация относительности движения).

    Путь - расстояние пройденное телом по траектории. В общем случае это расстояние не совпадает с расстоянием между начальным и конечным положениями тела и не равно длине траектории. Пример: сделав два оборота по окружности радиусом R, материальная точка проходит путь 4πR, длина траектории (окружности) равна 2πR, а расстояние между начальным и конечным положением тела равно 0.

    Один из равносильных способов вычисления пути: путь равен сумме длин дуг траектории, проходимых по одному разу. Если дуга траектории проводится повторно, ее длина добавляется к сумме. Еще один равносильный способ: пройденный путь равен площади криволинейной трапеции под графиком зависимости модуля скорости тела от времени.

    Исходя из определения, остается добавить, что путь является неотрицательной монотонно неубывающей функцией времени (см. рисунок).

    1.3 Скорость материальной точки - векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения тела, т. е. быстроту движения, поэтому скорость определена следующим образом:

        υ = Δr / Δt (r_t^' = (υ_x, υ_y, υ_z), υ_x = Δx / Δt) → υ_x = x_t^', υ_y = y_t^', υ_z = z_t^'

    Вследствие этого определения скорость всегда направлена по касательной к траектории (см. рисунок). При этом угол между r(t) и υ(t) может быть любым.

    Из закона сложения перемещений следует закон сложения скоростей: если скорость тела в первой системе отсчета равна υ₁, во второй системы отсчета равна υ₂, а вторая система отсчета движется относительно первой со скоростью υ₀, то υ₁ = υ₂ + υ₀.

    1.4 Ускорение материальной точки - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. Поэтому построение ускорения через изменение скорости совпадает с построением скорости через изменения радиус-вектора:

        a = Δυ / Δt (υ_t^' = (a_x, a_y, a_z), a_x = Δυ_x / Δt) → a_x = (υ_x)^'t, a_y = (υ_y)^'t, a_z = (υ_z)^'t

    Если a ⊥ υ, то изменяется только направление вектора υ, его модуль не меняется. Если a || υ, то изменяется только модуль вектора υ, а его направление не меняется.

    1.5 Равномерное прямолинейное движение: тело движется по прямой с постоянной скоростью. По этой прямой направим X. Тогда

    Константы x₀ и υ_0x могут иметь любой знак. Если направление υ₀ совпадает с направлением оси X, то υ_0x = υ₀ > 0. Если вектор υ₀ направлен в обратную сторону, то υ_0x = -υ₀ < 0.

    За конечное время тело проходит конечный отрезок прямой. Он и будет в этом случае траектории тела. Если считать, что t ∈ (-∞, +∞), то траектория тела - вся прямая x ∈ (-∞, +∞)

    1.6 Равноускоренное прямолинейное движение: тело движется по прямой с постоянным ускорением. По этой прямой направим ось X. Тогда

    Отсюда следует, что υ₂² - υ₁² = 2a_x(x₂ - x₁).

    Константы x₀, υ_0x и a₀ могут иметь любой знак. Если направление a совпадает с направлением оси X, то a_x = a > 0. Если вектор a направлен в обратную сторону, то a_x = a < 0.

    За конечное время тело проходит конечный отрезок прямой. Он и будет в этом случае траектории тела. Если считать, что t ∈ (-∞, +∞), то траектория тела - луч, направленные в положительную сторону оси X при a_x > 0 и в отрицательную сторону оси X при a_x < 0.

    1.7 Свободное падение - движение тела под действием только силы тяжести (все остальные силы отсутствуют или уравновешивают друг друга).

    Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли (или другой планеты) считается постоянным по модулю и направлению. С точностью не хуже 1% это справедливо в пределах нескольких километров по высоте над уровнем моря и нескольких десятков километров вдоль поверхности Земли. Если это не так (например, из-за присутствия родной залежи больших размеров с высокой плотностью), то такая аномалия должна быть оговорено в условии задачи.

    Движение тела брошенного под углом α к горизонту.

    Это движение происходит в плоскости, в которой лежат векторы υ₀ и g. Оси системы координат, связанной с Землей, направим в этой плоскости следующим образом: ось Y параллельно вектору g вверх (вертикально), ось X - перпендикулярно вектору g (горизонтально). Тогда

    Траектория движения тела в данном случае - парабола. Действительно, положим для простоты x₀ = 0, y₀ = 0. Выразим t через x: t = x / (υ₀cosα). Этот результат подставим в выражение y(t) и получим уравнение траектории y(x) = x · tgα - (gx² / (2υ₀²cos²α)). В данном случае это уравнение параболы.

    1.8 Движение тела по окружности.

    Положение точки M на окружности можно задать ей декоративными координатами (x = Rcosφ, y = Rsinφ) или полярными координатами (R, φ). Угловая скорость ω описывают быстроту изменения угла φ: ω = Δφ / Δt. Угловая скорость точки ω связана с ее линейной скоростью υ (т. е. с модулем обычной скорости) равенством υ = |ω|R.

    Центростремительное ускорение точки:

    a_цс = υ² / R = ω²R. Центростремительное ускорение точки M направлено по радиусу к центру окружности. Поэтому a_цс ⊥ υ. Значит, если у точки есть только центростремительное ускорение, точка движется по окружности равномерно, т. е. модуль скорости υ не меняется. Если υ меняется, то у точки, помимо центростремительного ускорения a_цс, должна быть тангенциальная (касательная) составляющая ускорения a_τ. В этом случае ускорение точки a = a_цс + a_τ.

    При равномерном движении по окружности ω = const. В этом случае угловая скорость ω связана с периодом T и частотой обращения ν = 1 / T точки равенствами ω = 2π / T = 2πν.

    1.9 Твердое тело - модель реального тела. Тело называется твердым, если расстояние между любыми двумя его точками в процессе движения остается постоянным.

    Поступательное движение твердого тела. Выберем две произвольные точки твердого тела и проведем через них прямую. Если в процессе движения эта прямая сохраняет свое направление, движение называется поступательным.

    При поступательном движении тело можно описать моделью материальной точки даже в том случае, когда размеры тела значительно больше его перемещения. Это значит, что, зная движение одной точки твердого тела, мы знаем движение и любой другой точки этого тела. Действительно, выберем две произвольные точки твердого тела A и B. В любой момент времени их радиус-вектора и связаны равенством r_B = r_A + AB, причём, по определению поступательного движения, AB = const. Тогда очевидно, что траектории точек A и B - одинаковые кривые, параллельные друг другу. Перемещение точек A и B за одно и тоже время Δt одинаковы:

        Δr_B = r_B(t+Δt) - r_B(t) = [r_A(t+Δt) + AB] - [r_A(t) + AB] = r_A(t+Δt) - r_A(t) = Δr_A.

    Отсюда, в свою очередь, следует, что в один и тот же момент времени υ_B = υ_A и a_B = a_A. Другими словами, точки A и B твердого тела при его поступательном движении движутся одинаково по параллельным траекториям.

    Вращательное движение твердого тела. В этом случае все точки твердого тела движутся по окружностям, причём в один и тот же момент времени угловые скорости всех точек одинаковы. Плоскости окружностей параллельны друг другу, центры окружностей лежат на прямой, именуемое осью вращения и направленной перпендикулярно плоскостям окружностей.

    Теорема: любое движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений.